Gönderen: cudjex | 21 Ağustos 2010

Trigonometrinin Geometri ile İnşaası

Trigonometrinin Geometri ile İnşaası

Bu çalışmada geometri bilgisiyle trigonometri sorularını nasıl yazabileceğimiz hedef alınmıştır. Önce trigonometriyi bir güzel inşa edelim…

Trigonometri nasıl başlamış olabilir diye düşündünüz mü hiç?

Bu soruya kimse kesin bir cevap veremez elbet. Trigonometrinin temellerini atanlar bile yaptığının bu kadar geniş bir bilim dalı olacağını düşünmemiş de olabilirler. Trigonometrinin doğuşu için Mithat KUL hocamızın senaryosu çok hoş: “Adamın biri benzerlik öğrenmiş dik üçgenlerin benzerliği ile uğraşırken benzerlik oranı dediğimiz k değerini açıya bağlı olarak nasıl ifade edebilirim diye düşünmeye başlamış. Çünkü açı değiştikçe sabit olan k oranı da değişiyormuş. Bunun için k=sinA, k=cosA gibi ifadeler kullanmaya başlamış.”

Her bilim dalı ölçme – değerlendirme işlemlerini kolaylaştırmak için teknikler geliştirmektedir veya geliştirilmiş teknikleri kendi alanlarına uygulanabilir hale getirmektedir. Geometri bilim dalı da kıyas etme işlemleri için eşlik ve benzerlik dediğimiz bir tür kıyas tekniği geliştirmiş ve benzerlik işlemlerini de kolaylaştırmak için trigonometri denilen kıyas tekniği geliştirilmiştir. Trigonometri sayesinde geometriciler, inceledikleri şekillerin özeliklerini cebirsel işlemlerle ifade edilebilme imkanı bulmuşlardır. Geometriciler keşfettikleri kuralları hem kendilerine hem de diğer kişilere kabul ettirebilmek için trigonometriyi ispat aracı olarak kullanmaya başlamışlardır. Bunun nedeni bir şekle ait özeliği ortaya atıp çizimle ispat etmeye çalışmanın zor olması hatta bir tek çizimin yeterli olmamasından kaynaklanmaktadır. Geometricilerin bulduğu her teoremi çizim yoluyla ispat etmeleri için açının dar, dik ve geniş olmasına göre ve uzunlukların farklı durumlarına göre çizim yapması gerekmektedir. Bu kadar uzun bir işe girmek sabırları zorlamaktadır. Trigonometri burada yardım meleği gibi geometricilerin imdadına yetişir. Trigonometride açılara yön kavramı verilmiş olduğundan daha kısa ve cebirsel ispat imkanı sağlar. Bu geometriciler için vazgeçilmez kolaylıktır.
Trigonometrinin geometri ile inşa edilebileceğini göstermek amacıyla öncelikle trigonometrinin temel bilgilerini ele alalım;


Trigonometrik Oranların Tanımı



Sinüs = (karşı dik kenar) / (hipotenüs)
Kosinüs = (komşu dik kenar) / (hipotenüs)
Tanjant = (karşı dik kenar) / (komşu dik kenar)
Sekant = 1 / kosinüs
Kosekant = 1 / sinüs
Kotanjant = 1 / tanjant

Sinüs, kosinüs, tanjant,  trigonometrik oranları ve bu oranların çarpma  işlemine göre terslerinden elde edilen diğer oranları ;

Sin A = a/b , Cos A = c/b , Tan A = a/c ,
Sec A = b/c , Cosec A = b/a , Cot A = c/a ,
Sin C = c/b , Cos C = a/b , Tan C = c/a ,
Sec C = b/a , Cosec C = b/c , Cot C = a/c

Yukarıdaki tanımlamalardan aşağıdaki sonuçlar elde edilmektedir.

Sonuçlar:
1.    ” Ölçüleri toplamı 90° olan iki açının sinüsü kosinüse, tanjantı cotanjantına, sekantı kosekantına eşittir.”  Yani,   sin x=cos(90-x), tanx=cot(90-x), secx=cosec(90-x) dir. Bu sonucu cins değiştirme olarak hatırlayalım.
2.    sin²x =(sinx)² olmak üzere; sin²x + cos²x = 1 dir. (pisagordan elde edilir)
3.    tanx.cotx=1, sinx.cosecx=1, cosx.cosecx=1
4.    tanx=sinx/cosx , cotx=cosx/sinx

Sinüs Alan Teoremi
A(ABC)=1/2 a.b.sinC
=1/2 a.c.sinB
=1/2 b.c.sinA
Sinüs Alan Teoreminin ispatı

yandaki şekilde sinB=|AH|/|AB| ise |AH|=|AB|.sinB olur. Bunu  A(ABC)=|BC|.|AH|/2 alan formülünde  yazılırsa A(ABC)=(a.c.sinB)/2 eşitliği elde edilecektir. Diğerleri aynı mantıkla gösterilir.

Kosinüs teoremi
a²=b²+c²-2bc.cosA
b²=a²+c²-2ac.cosB
c²=a²+b²-2ab.cosC
Kosinüs teoreminin ispatı

|AH|=h ve |BH|=x dersek |HC|=a-x ve cosB=x/c yani x=c.cosB olur. AHB ve AHC üçgenlerinde pisagor bağıntısı uygulanırsa  h²=x²+c²=b²+(b-x)² eşitliği buradan da  b²=a²+c²-2bx elde edilir. x yerine biraz önce elde edilen x=c.cosB eşitliği yerine yazılırsa b²=a²+c²-2ac.cosB elde edilir. Diğerleri aynı mantıkla gösterilir.

Sinüs Teoremi
a/sinA = b/sinB = c/sinC

Sinüs teoreminin ispatı
A(ABC) = 1/2 a.b.sinC = 1/2 a.c.sinB = 1/2 b.c.sinA bu eşitlikler a.b.c ile çarpılıp bölünür ve düzenlenirse sinüs teoremi elde edilmektedir.

Not:
ABC üçgeninin çevrel çemberi çizilerek sinüs teoremini ispatlaya bilirsiniz. Eğer çevrel çember çizilerek ispat yapılırsa sinüs teoremine bir eşitlik daha kazandırmış olursunuz.
a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R   (Geometride R çevrel çemberin yarıçap uzunluğudur.)

Sinüs teoremini geometride kolayca kullanabilmek için üçgenin kenar uzunluklarını a=sinA, b=sinB, c=sinC olarak alabiliriz. (Yani orantı sabitini 1 alıyoruz.)

Yardımcı kural
Ölçüleri toplamı 180° olan iki açının sinüsleri eşittir.

sinx=sin(180-x)
sin0=sin180

Yardımcı kuralın ispatı
A(ABD) =A(ADC) dir.  x ve 180-x e göre sinüs alan yazılırsa;
1/2 a.b.sinx = 1/2 a.c.sin(180-x)
sinx=sin(180-x) elde edilir. Burada x=0 yazılırsa sin0=sin180 olduğu görülür.

Toplam – fark – yarım açı formülleri

sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx
sin2x=2sinx.cosx
sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx
sin0=cos90=sin180=0
cos180=-1
cos(x+y)=cosx.cosy-siny.sinx
cos2x=cos²x-sin²x
cos(x-y)=cosx.cosy+siny.sinx
cos0=sin90=1
cos(180-x)=-cosx

Toplam – fark – yarım açı formüllerinin ispatı


Yukarıdaki üçgende; sinüs teoremi uygulanarak düzenleme yapılırsa
sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx elde ediliyor. Bu formüllerinde y yerine x yazılırsa sin2x=2sinx.cosx elde edilir.

Yukarıdaki üçgende mABC=x, mC=y alınarak, BDC ikizkenar üçgeni elde edilmiştir. |AD|=sin(x-y) alınırsa |AB|=sin2y , |BD|=sin(x+y) olacaktır. ABC üçgeninde sinüs teoremi uygulanıp sin2y=2siny.cosy eşitliği kullanılırsa |AC|=2six.cosy=sin(x-y)+sin(x+y) elde edilir. Biraz önce elde ettiğimiz toplam formülüne göre sin(x+y) açılımı yapılarak düzenlenirse sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx eşitliği elde edilmektedir. Bu eşitlikte y=x alınıp cins değişikliği ve yardımcı kuralda elde ettiğimiz sonuçlar birlikte kullanılırsa sin0=sin180=cos90=0 olduğu görülmektedir. Yardımcı kural burada elde ettiğimiz fark formülüne göre açılırsa cos180=-1 bulunmaktadır.

Cins değişikliği yardımıyla cos(x+y) açılımını bulalım;
cos(x+y)=sin[90-(x+y)]= sin[(90-x)-y]=sin(90-x).cosy-siny.cos(90-x) =cosx.cosy-sinx.siny elde edilir. Bu formülde y yerine x yazılırsa cos2x=cos²x-sin²x yarım açı formülü elde edilecektir.
cos(x-y)=sin[(90-x)+y]=sin(90-x).cosy+siny.cos(90-x)=cosx.cosy+siny.sinx elde edilir. Bu fark formülünde y yerine x alınırsa cos(x-x)=cosx.cosx+sinx.sinx=cos²x + sin²x = 1 olur cins değişikliği de dikkate alınırsa cos0=sin90=1 olduğu görülür.
cos(180-x)=cos180.cosx+sin180.sinx= – cosx elde edilir.

Negatif açıların trigonometrik oranları
sin(-x)= – sinx
cos(-x)= cosx
tan(-x)= – tanx
cot(-x)= – cotx
sin(-x)=sin[180-(180+x)]=sin180.cos(180+x)-sin(180+x).cos180
=+sin(180+x)=sin180.cosx+cos180.sinx= – sinx

cos(-x)=cos[180-(180+x)]=cos180.cos(180+x)+sin180.sin(180+x)
= – cos(180+x)= – cos180.cosx+sin180.sinx= + cosx

tan(-x)= sin(-x) / cos(-x) = -sinx / cosx = – tanx

Tanant ile ilgili açılımlar
tan(x+y)= tanx+tany  /  1-tanx.tany
tan2x=2tanx/(1-tan²x)
tan(x-y)= tanx-tany  /  1+tanx.tany
tan0=cot90=0
tan90=cot0= tanımsız
tan(x+y)=sin(x+y) / cos (x+y) =(sinx.cosy+siny.cosx)/(cosx.cosy-siny.sinx) pay e payda cosx.cosy parantezine alınıp düzenlenirse tan(x+y)= tanx+tany  /  1-tanx.tany elde edilir. Burada da y yerine -y yazılırsa tan(x-y)= tanx-tany  /  1+tanx.tany elde edilir.
Dönüşüm ve ters dönüşüm  formülleri
sinx.cosy=1/2 [sin(x+y)+sin(x-y)]
sinx+siny=2.sin[(x+y)/2].cos[(x-y)/2]
Dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerinin ispatı
sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx ve sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx açılımları taraf tarafa toplanıp düzenlenirse sinx.cosy=1/2 [sin(x+y)+sin(x-y)] elde edilir. Bu eşitlikte x yerine (x+y)/2 ve y yerine (x-y)/2 yazılıp düzenlenirse sinx+siny=2.sin[(x+y)/2].cos[(x-y)/2] elde edilir.
Diğer dönüşüm formüllerini bilmeye gerek yoktur cins değişikliği ve negatif açının trigonometrik oranı yardımıyla bu formüllere benzetme yapılır.
Örneğin;
cos10.cos20=sin80.cos20
cos10+cos20=sin80+sin70
cos10.cos100= – sin80.sin10 gibi basit cins değişiklikleri uygulanır.

Buraya kadar trigonometrinin temellerini atmış bulunmaktayız. Dikkat ederseniz hiç bir bilgiyi kabul edilmeden geometri ile göstermiş olduk. 1995 yılında Bünyamin İnan’ın (lise 2 öğrencim) bulduğu bir teoremi burada vermek özellikle olimpiyata çalışan gençlerimiz için faydalı olacak,

Bünyamin İnan Teoremi

sinx.siny.sinz=sina.sinb.sinc

İnan teoreminin ispatını ziyaretçimize bırakıyorum. Bu teoremin kullanılışı ile ilgili örnekleri geometri panosunda bulabilirsiniz. Geometri Asistanı bu teoremi kullanarak merak ettiğiniz soruların cevaplarını sizin yerinize buluyor. Size de cevabını bildiğiniz o soruları çözmek kalıyor.
Genel inan teoremi:

Dörtgenler için verdiğim yandaki genel kural tüm çokgenler için de geçerlidir.

“Diğer projede özel açıların trigonometrik değerlerinin bulunuşu üzerinde duracağım. Ayrıca trigonometri analitik ilişkisinin anlatıldığı başka bir proje üzerinde vakit buldukça çalışıyorum. Dönem ödevi hazırlayan arkadaşlara ışık tutacak buradaki çalışmayı daha da geliştirmeleri ümidiyle…”

Eyüp Kamil YEŞİLYURT
Ocak – 2002

Son Söz

“Bünyamin İnan Teoremi ismini verdiğim kuralın yıllar sonra “trigonometrik ceva” diye yabancı internet sitelerinde olduğunu da öğrendim. Hatta bu konuda bir çok tenkit bile aldım. Tenkitleri haklı bulduğum yönleri olmasına rağmen öğrencimin dürüst olduğu konusunda hiç şüphe duymadığım için ismini değiştirme gereksinimi duymadım. Bizden birilerinin de artık güzel şeyler yapabilmesi ne güzel. Aynı şeyleri yabancı kelimelerle süsleyip popüler hale getirememek(!) ise ne büyük eksiklik…”

geometri.us

Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap /  Değiştir )

w

Connecting to %s

Kategoriler

%d blogcu bunu beğendi: